时间序列数据升维技术研究笔记

格拉姆角场（GASF/GADF）及其同类方法

备注：本笔记系统整理了将一维时间序列编码为二维图像的核心技术，重点介绍格拉姆角场方法，兼顾其他主流升维手段，并附高水平期刊应用案例及可逆性分析。

关键词：GASF · GADF · 马尔可夫转移场 · 递归图 · 时频变换 · 1D→2D · 深度学习 · 时间序列

为什么要”升维”？
格拉姆角场（GAF）：GASF 与 GADF
- 2.1 直观理解
- 2.2 数学原理
- 2.3 完整计算流程
可逆性分析：能从图像还原时间序列吗？
其他主流数据升维方法
- 4.1 马尔可夫转移场（MTF）
- 4.2 递归图（Recurrence Plot, RP）
- 4.3 短时傅里叶变换（STFT）/ 语谱图
- 4.4 连续小波变换（CWT）/ 小波时频图
- 4.5 TimesNet 周期重塑法
- 4.6 对称点模式（SDP）
方法横向对比
高水平期刊应用案例
代码速查：Python 实现
总结与选型建议

1. 为什么要”升维”？

1.1 问题背景

在机器学习领域，图像识别技术（CNN）已经发展得相当成熟——ResNet、EfficientNet、Vision Transformer 等架构在图像分类上能达到接近人类的水平。然而，大量现实数据是一维时间序列：心电图、振动信号、股价、地震波……

传统做法是用1D-CNN或RNN处理这些信号，但这样就”放弃”了图像领域几十年积累的强大预训练模型。

核心动机：如果我们能把时间序列”画”成一张图，就能直接套用图像识别领域的全部工具。

1.2 升维的本质

原始时间序列（长度 N）:
  [x₁, x₂, x₃, ..., xₙ]   ──→   N×N 的二维矩阵（图像）

每个像素点 (i, j) 编码了时刻 i 与时刻 j 之间某种关系

不同的升维方法，本质区别在于：“时刻 i 与时刻 j 之间的关系”如何定义。

2. 格拉姆角场（GAF）：GASF 与 GADF

原始论文：Wang, Z., & Oates, T. (2015). Imaging Time-Series to Improve Classification and Imputation. IJCAI 2015. arXiv:1506.00327

2.1 直观理解

一个类比：想象你有一段旋律，每个音符有一个音高值。GAF 的做法是：

把每个音符的”高低”转换为一个角度（把数值映射到单位圆上）
对于任意两个时刻 i 和 j，计算它们对应角度的和或差
把所有时刻对的计算结果排成一张矩阵——这就是 GASF（角度和）或 GADF（角度差）

这张矩阵的对角线（i = j）记录了每个时刻自身的信息，而非对角线元素（i ≠ j）记录了不同时刻之间的”相互关系”——这正是 CNN 最擅长捕捉的结构化模式！

2.2 数学原理

第一步：归一化

将时间序列 $X = {x_1, x_2, \ldots, x_N}$ 归一化到 $[-1, 1]$：

\[\tilde{x}_i = \frac{(x_i - \max(X)) + (x_i - \min(X))}{\max(X) - \min(X)}\]

⚠️ 也可归一化到 $[0, 1]$，区别见第3节可逆性分析。

归一化后，每个值 $\tilde{x}_i \in [-1, 1]$，正好是某个角度的余弦值。

第二步：极坐标编码

将数值映射为极坐标中的角度：

\[\phi_i = \arccos(\tilde{x}_i), \quad \phi_i \in [0°, 180°]\] \[r_i = \frac{t_i}{N} \quad \text{（时间戳归一化为半径，表达时序信息）}\]

几何意义：每个数据点成为单位圆上的一个点，时间轴变成了”绕圆弧旋转的方向”，数值大小变成了”离圆心的角度偏转”。

              cos(φ) = x̃
              φ = arccos(x̃)

 [-1]        [0]        [+1]
  φ=180°    φ=90°      φ=0°
  ●          ●          ●    ← 单位圆上的对应位置

第三步A：构造 GASF（角度求和场）

\[\text{GASF}_{ij} = \cos(\phi_i + \phi_j)\]

利用三角恒等式 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$，展开为：

\[\boxed{\text{GASF}_{ij} = \tilde{x}_i \tilde{x}_j - \sqrt{1-\tilde{x}_i^2}\cdot\sqrt{1-\tilde{x}_j^2}}\]

物理含义：GASF 矩阵编码了时刻 i 和时刻 j 对应角度之”叠加”后的余弦投影，是一种内积型的相关性度量。

第三步B：构造 GADF（角度差分场）

\[\text{GADF}_{ij} = \sin(\phi_i - \phi_j)\]

展开为：

\[\boxed{\text{GADF}_{ij} = \sqrt{1-\tilde{x}_i^2}\cdot\tilde{x}_j - \tilde{x}_i\cdot\sqrt{1-\tilde{x}_j^2}}\]

物理含义：GADF 矩阵编码了两时刻角度之”差”的正弦值，更突出相对变化，是一种反对称型度量（GADF 主对角线恒为 0，因为 $\sin(0) = 0$）。

2.3 完整计算流程

原始序列 X = [0.2, 0.8, 0.5, -0.3, 0.9]
         ↓  归一化至[-1,1]
X̃ = [0.2, 0.8, 0.5, -0.3, 0.9]（已在范围内）
         ↓  arccos 编码
Φ = [arccos(0.2), arccos(0.8), arccos(0.5), arccos(-0.3), arccos(0.9)]
  = [78.5°, 36.9°, 60°, 107.5°, 25.8°]
         ↓  构造矩阵
GASF[i,j] = cos(Φ[i] + Φ[j])    →  5×5 矩阵
GADF[i,j] = sin(Φ[i] - Φ[j])    →  5×5 矩阵（反对称）

GASF 矩阵的对称性

GASF 是对称矩阵（因为 $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\beta+\alpha)$），图像看起来关于主对角线镜像对称。

GADF 是反对称矩阵（$\sin(\alpha-\beta) = -\sin(\beta-\alpha)$），主对角线为零，上下三角互为相反数。

图像可视化特征

特征	GASF	GADF
对称性	中心对称（关于主对角线）	反对称（上三角 = -下三角）
主对角线	$\cos(2\phi_i)$，编码原始值	恒为 0
像素范围	$[-1, 1]$	$[-1, 1]$
视觉特点	暖色块对应相似时段	高频变化更突出

3. 可逆性分析：能从图像还原时间序列吗？

通过GASF和GADF变换，我们可以将1维的数据升维，变为高维度矩阵，使其可以兼容一系列的二维深度学习模型或者图像处理方法。

那么这个变换是否可逆，毕竟我们很多时候需要的，其实是那个一维数据结果而不是变换后的矩阵。如果这样的话，这就代表其适用于生成式模型等等自由度更高的模型，这对于建模、优化设计等领域都是非常有用的。

答案是：GASF 在特定条件下是可逆的，但有约束。

3.1 GASF 的双射性（Bijection）

GASF的原始论文中明确提到：

“Inspired by the bijection property of GASF on 0/1 scaled data…”

当时间序列归一化到 $[0, 1]$（而非 $[-1, 1]$）时，$\phi_i = \arccos(\tilde{x}_i) \in [0°, 90°]$，GASF 是双射（一一对应）的，即可以无损还原。

3.2 逆变换方法

从主对角线恢复

GASF 的主对角线元素满足：

\[\text{GASF}_{ii} = \cos(\phi_i + \phi_i) = \cos(2\phi_i) = 2\cos^2(\phi_i) - 1 = 2\tilde{x}_i^2 - 1\]

因此：

\[\tilde{x}_i = \sqrt{\frac{\text{GASF}_{ii} + 1}{2}}\]

逆变换步骤：

取 GASF 矩阵的主对角线 $d_i = \text{GASF}_{ii}$
计算 $\tilde{x}_i = \sqrt{(d_i + 1) / 2}$
反归一化：$x_i = \tilde{x}_i \cdot (\max - \min) + \min$

import numpy as np

def gasf_inverse(gasf_matrix, x_min, x_max):
    """从 GASF 矩阵的主对角线恢复时间序列"""
    diag = np.diag(gasf_matrix)          # 取主对角线
    x_normalized = np.sqrt((diag + 1) / 2)  # 逆变换
    x_original = x_normalized * (x_max - x_min) + x_min  # 反归一化
    return x_original

3.3 可逆性的限制条件

条件	是否可逆	说明
归一化到 $[0,1]$，主对角线可见	✅ 完全可逆	$\phi \in [0°, 90°]$，arccos 单调，无歧义
归一化到 $[-1,1]$	⚠️ 部分可逆	$\phi \in [0°, 180°]$，$\sqrt{}$ 会丢失符号
图像压缩/量化（如保存为 JPEG）	❌ 有损	像素值失真，无法精确恢复
降分辨率（N×N → n×n，n < N）	❌ 有损	信息丢失

归一化到 [-1,1] 时的符号问题

当归一化到 $[-1,1]$ 时，$\phi \in [0°, 180°]$，且：

\[\text{GASF}_{ii} = \cos(2\phi_i) = 2\tilde{x}_i^2 - 1\]

由于 $\tilde{x}_i^2$ 无法区分 $+\tilde{x}_i$ 和 $-\tilde{x}_i$，存在符号歧义。此时需要借助 GADF 来辅助恢复符号信息：

\[\text{GADF}_{i, i+1} = \sin(\phi_i - \phi_{i+1})\]

通过 GADF 的差分信息，可以推断相邻时刻的增减关系，从而恢复符号。

3.4 GADF 的可逆性

GADF 主对角线恒为 0，因此无法单独从 GADF 恢复原始序列。但 GADF 与 GASF 联合使用时，信息是互补的。

3.5 实际应用中的逆变换价值

逆变换主要用于：

信号插补（Imputation）：用 Denoising Autoencoder 在图像域填补缺失段，再还原为曲线
数据增强验证：检查变换是否保真
生成模型：在 GAF 图像空间训练 GAN/VAE，生成新的时间序列

4. 其他主流数据升维方法

4.1 马尔可夫转移场（Markov Transition Field, MTF）

同样来自 Wang & Oates (2015) 原始论文。

核心思想

如上图，这里考虑一个时间序列，把时间序列看作一个马尔可夫过程：即设置几个不同的数值参考，将时间序列离散化为 Q 个分位数区间（量化区间），例如上图设置了三根虚线，将整张图纵向分割成了四段。

然后统计从区间 i 跳转到区间 j 的概率，形成转移矩阵。

例如从上至下的区间分别记作A,B,C,D，根据时间序列处于哪个区间，给时间序列数据标记为A,B,C,D四个状态。那么从左上角的A状态，下一秒有0.944的概率变为状态A，以及0.056的概率变为状态B，以此类推，产生对应的状态转移矩阵

再按数据点的时间顺序展开为二维图。

这里如果还是不理解什么叫马尔科夫过程，这里强烈推荐观看真理元素的这期节目:”这个数学模型（几乎）能预测宇宙万物” https://www.bilibili.com/video/BV1Aj8DzzE42/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=8b6ffc174a6c5a4993bab3a38f1b70f7

很好的讲了马尔科夫链，核弹与蒙特卡洛算法

构造步骤

量化：将序列 $X$ 分入 $Q$ 个分位数区间（bins）
计算转移频率矩阵 $W$：$W_{ij}$ = 样本落入区间 $q_i$ 后下一步落入 $q_j$ 的频率
展开为时间-概率场： $\text{MTF}_{ij} = W_{q_i q_j}$ 其中 $q_i$ 是时刻 $i$ 所在的区间编号

与 GASF 的对比

MTF 关注状态转移动力学（类似统计力学中的转移矩阵）
GASF 关注角度相关性（几何关系）
MTF 更适合捕捉周期性和状态机特征；GASF 更适合捕捉幅值相关性

可逆性

MTF 不可逆。量化过程会丢失精确数值信息，无法从 MTF 还原原始序列。

4.2 递归图（Recurrence Plot, RP）

来自非线性动力学领域：Eckmann, J.-P. et al. (1987). Recurrence Plots of Dynamical Systems. Europhysics Letters.

核心思想

判断时刻 $i$ 的状态是否”回到了”时刻 $j$ 的邻域：

\[\text{RP}_{ij} = \Theta(\varepsilon - \|x_i - x_j\|)\]

其中 $\Theta$ 是 Heaviside 阶跃函数，$\varepsilon$ 是阈值半径。

通俗理解：如果 $x_i \approx x_j$，则 $(i,j)$ 像素点为白色（1）；否则为黑色（0）——得到一张黑白图。

视觉特征含义

视觉模式	含义
主对角线（恒为白）	序列与自身完全匹配
平行于主对角线的线段	周期性或准周期振荡
矩形白色块	层流/静止区段
孤立白点	随机/混沌状态

可逆性

RP 不可逆（信息丢失严重，仅保留”是否相似”的二值信息）。

*递归图相关研究里面用的比较少，图也比较难看懂，不如上述GAF以及马尔科夫变换简单直观好用。

Recurrence plots for the analysis of complex systems，这篇文章详细介绍了递归图，93页的理论推导，看了下有点看不懂，以防万一先备份在这里。

4.3 短时傅里叶变换（STFT）/ 语谱图（Spectrogram）

核心思想

用滑动窗口对时间序列做傅里叶变换：

\[\text{STFT}(t, f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \cdot w(\tau - t) \cdot e^{-j2\pi f\tau} d\tau\]

其中 $w(\tau)$ 是窗函数（如 Hamming、Hann 窗）。结果是一个时间-频率矩阵，取模得到语谱图。

特点

横轴：时间，纵轴：频率，颜色：能量强度
时间分辨率与频率分辨率之间存在 Heisenberg 不确定原理 的权衡（窗越宽，频率分辨率越高，时间分辨率越低）

可逆性

STFT 原则上完全可逆（可用 Griffin-Lim 算法或直接逆变换从复数 STFT 还原），但如果只保存语谱图（丢失相位信息），则只能近似恢复。

*语谱图也是老资历了，和MFCC（梅尔倒频谱系数）一起，在语音、音频信号处理里的特征表征很常用，简单来说就是将原始一维时域信号用STFT变换，取频域的幅度为纵轴，绘制在时域的时间横坐标上。

4.4 连续小波变换（CWT）/ 小波时频图（Scalogram）

核心思想

用一系列尺度变化的母小波 $\psi$ 与信号做卷积：

\[W(a, b) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int x(t) \cdot \psi^*\left(\frac{t-b}{a}\right) dt\]

其中 $a$ 是尺度（与频率成反比），$b$ 是平移（时间位置）。取模平方得到 Scalogram（能量-时频图）。

与 STFT 的区别

	STFT	CWT
时频分辨率	固定窗口，均匀分辨率	多尺度，高频高时间分辨率，低频高频率分辨率
适用场景	平稳信号	非平稳、瞬态特征
逆变换	容易	存在，但计算复杂

可逆性

CWT 原则上可逆（存在解析的逆小波变换公式），但需要保留完整复数系数，实际应用中若只存幅度图则信息有损。

*这里同上STFT，只是换成了小波变换而已，思路是完全一样的

4.5 TimesNet 周期重塑法（2D Reshape）

Wu, H. et al. (2023). TimesNet: Temporal 2D-Variation Modeling for General Time Series Analysis. ICLR 2023.

核心思想

这是一种非基于相似性矩阵的升维方式，直接利用时间序列的内在周期性：

用 FFT 找出主要周期 $p_1, p_2, \ldots$
将长度 $T$ 的序列重塑为 $\lceil T/p \rceil \times p$ 的二维矩阵
行方向 = 周期内变化（intraperiod），列方向 = 跨周期变化（interperiod）
用 2D CNN（如 Inception）处理这个矩阵

特点

自适应：根据数据自动确定重塑形状
无冗余：矩阵大小约等于原序列长度（不像 GASF 是 N×N）
可逆：重塑操作天然可逆（reshape 回原始长度即可）

*这个东西乍一看很复杂，其实原理很好理解。首先先对原始信号进行FFT，其中找幅度高的主要几个频率。而FFT的物理含义就是将原始信号拆解成多个频率不同的正弦信号，那么每个频率就对应原始信号中的一段周期性信息。

*上面的Figure2讲的清楚一点。然后找出不同频率的对应原始信号（直接反变换），然后reshape成元素一致的矩阵（8x2, 4x4, 1x16…）。用一个预训练好的二维CNN作为特征提取器，将其降维变换成图像

4.6 对称点模式（Symmetric Dot Pattern, SDP）

对称点模式(symmetric dot pattern, SDP)-matlab版复现_故障诊断

核心思想

将时间序列映射到极坐标平面，以角度编码时间、半径编码幅值，形成视觉上呈对称花样的散点图：

\[r_i = |x_i|, \quad \theta_i = \frac{2\pi t_i}{N}\]

将各点及其关于某轴的镜像点同时绘制，得到对称图案。

特点

视觉直观，周期性特征形成规则几何图案
适用于振动信号和音频分析
不可逆（镜像操作丢失符号信息）

5. 方法横向对比

方法	核心度量	矩阵大小	主要优势	主要缺陷	可逆性
GASF	角度余弦和	N×N	保留时序关联性，对角线可还原	高维冗余（N×N vs N）	✅ 有条件可逆
GADF	角度正弦差	N×N	突出动态变化，反对称特性	主对角线无信息	❌ 单独不可逆
MTF	马尔可夫转移概率	N×N	捕捉动力学状态转移	需量化，分辨率受限	❌
RP	相空间距离阈值	N×N	揭示非线性动力学、混沌	阈值敏感，二值化损失	❌
STFT 谱图	时频能量	T×F	频域可解释，成熟工具	时频分辨率权衡	⚠️ 需保留相位
CWT 小波图	多尺度时频能量	S×T	多分辨率，适合瞬态信号	计算量大	⚠️ 需保留相位
TimesNet Reshape	周期重塑	≈√T×√T	高效，无冗余，可逆	依赖周期性假设	✅ 完全可逆
SDP	极坐标散点	自定义	视觉直观，周期识别好	定量信息弱	❌

选型提示：

工程故障诊断 → GASF + GADF 组合（利用 ImageNet 预训练 CNN）

生物医学信号 → CWT 小波图（时频分辨率灵活）或 GASF

非线性/混沌分析 → RP（递归图）

时间序列预测/补全 → TimesNet Reshape 或 GASF（可逆）

语音/振声分析 → STFT 语谱图（成熟工具链）

6. 高水平期刊应用案例

案例一：Nature Scientific Reports — 变压器故障诊断

文献：Transformer fault diagnosis method based on Gramian Angular Field and optimized neural network. Scientific Reports (Nature 旗下), 2025.

问题：变压器的溶解气体分析（DGA）数据是多元时间序列，传统方法难以综合利用多维特征。

方法：

将变压器 DGA 多元时间序列分别转换为 GASF 图像（每个气体指标一张图）
使用多通道 CNN 提取图像特征
引入优化算法（贝叶斯优化）自动调整网络超参数

结果：在多个标准变压器故障数据集上，诊断准确率超过 98%，优于传统 SVM 和标准 CNN。

意义：证明了 GAF 在工业设备健康管理领域的实用价值。

案例二：IEEE Transactions on Industrial Electronics — 电机轴承故障诊断

文献：A New Method for Diagnosing Motor Bearing Faults Based on Gramian Angular Field Image Coding and Improved CNN-ELM. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2023. DOI: 10.1109/TIE.2023.

问题：电机轴承振动信号包含复杂非平稳特征，一维信号特征提取困难，卷积网络难以直接建模时序相关性。

方法：

振动加速度信号 → GASF 图像（利用角度相关性保留时序结构）
构建改进 CNN（多尺度卷积核） + ELM（极限学习机）的混合分类器
GASF 图像作为输入，故障类型（正常/内圈损伤/外圈损伤/滚珠损伤）为输出

结果：在 CWRU 轴承数据集上达到 99.4% 分类准确率，收敛速度比纯 CNN 快 3 倍。

意义：GASF 成功将轴承振动信号的时序相关性转化为图像纹理，使预训练 CNN 直接迁移成为可能。

案例三：Engineering in Agriculture / Remote Sensing — 卫星遥感作物分类

文献：Combining 2D encoding and convolutional neural network to enhance land use and land cover mapping from satellite image time series. Engineering Applications of Artificial Intelligence (Elsevier), 2023.

问题：卫星时间序列（SITS）数据量大、类别混淆度高，传统 1D-CNN 难以充分利用时序内相关性。

方法：

将多光谱波段的时间序列数据分别用 GASF、GADF、MTF 编码为图像
多编码融合 + ResNet / 时序-空间双流 CNN
在巴西土地覆被（SITS 数据集）上训练和评估

结果：融合多种编码的 CNN 在作物分类上比单一 1D-CNN 精度提高 4-8 个百分点，尤其对季节性作物识别效果显著。

意义：展示了 GAF 在遥感/地球观测领域的应用潜力，多种升维方法融合优于单一方法。

案例四：Sensors (MDPI，Q1) — 滚动轴承故障 + 小样本

文献：A Novel Method for Rolling Bearing Fault Diagnosis Based on Gramian Angular Field and Few-shot Learning. Sensors, 24(12), 2024. DOI: 10.3390/s24123967.

问题：工业场景中故障样本稀缺，深度学习需要大量标注数据。

方法：

振动信号 → GASF 图像
孪生网络（Siamese Network）实现小样本学习
结合 GASF 的图像相似性度量替代原始信号比较

亮点：每类仅用 5-10 个样本即可达到 92%+ 诊断准确率（传统方法需要数百样本），充分利用了 GASF 图像化后支持迁移学习的特性。

案例五：PLOS ONE — 强噪声下的滚动轴承故障诊断

文献：Rolling bearing fault diagnosis method based on gramian angular difference field and deep neural network under strong noise interference. PLOS ONE, 2024. DOI: 10.1371/journal.pone.0314898.

方法：

原始振动信号 → GADF 图像
EMD（经验模态分解）预降噪 + GADF 编码
DenseNet 分类

意义：在信噪比 −6 dB 的极端噪声条件下，准确率仍达 95%，显著优于直接用1D信号的方法，证明了 GADF 对噪声有一定的结构鲁棒性。

7. 代码速查：Python 实现

7.1 GASF/GADF 快速实现（使用 pyts 库）

# pip install pyts matplotlib numpy

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pyts.image import GramianAngularField

# 生成示例时间序列
t = np.linspace(0, 4 * np.pi, 100)
X = np.sin(t) + 0.1 * np.random.randn(100)
X = X.reshape(1, -1)  # pyts 要求 shape: (n_samples, n_timestamps)

# 计算 GASF
gasf = GramianAngularField(method='summation')  # GASF
gasf_img = gasf.fit_transform(X)

# 计算 GADF
gadf = GramianAngularField(method='difference')  # GADF
gadf_img = gadf.fit_transform(X)

# 可视化
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 4))
axes[0].plot(t, X[0])
axes[0].set_title('原始时间序列')

axes[1].imshow(gasf_img[0], cmap='rainbow', origin='lower')
axes[1].set_title('GASF 图像')

axes[2].imshow(gadf_img[0], cmap='bwr', origin='lower')
axes[2].set_title('GADF 图像')

plt.tight_layout()
plt.show()

7.2 从 GASF 还原时间序列

def gasf_inverse(gasf_matrix, x_min=None, x_max=None):
    """
    从 GASF 图像的主对角线恢复归一化时间序列。
    
    假设条件：
    - 原始序列归一化到 [0, 1]（此时变换为双射）
    - gasf_matrix 为无损原始矩阵（非 JPEG 压缩图）
    
    参数：
    - gasf_matrix: np.ndarray, shape (N, N)
    - x_min, x_max: 原始序列的最小/最大值（用于反归一化，可选）
    
    返回：
    - x_normalized: 归一化序列 [0, 1]
    - x_original: 反归一化序列（若提供了 x_min, x_max）
    """
    # Step 1: 提取主对角线
    diag = np.diag(gasf_matrix)  # d_i = cos(2*phi_i) = 2*x_i^2 - 1
    
    # Step 2: 反算归一化值（仅适用于 [0,1] 归一化）
    # cos(2φ) = 2x² - 1  =>  x = sqrt((cos(2φ) + 1) / 2)
    x_normalized = np.sqrt(np.clip((diag + 1) / 2, 0, 1))
    
    # Step 3: 反归一化（可选）
    if x_min is not None and x_max is not None:
        x_original = x_normalized * (x_max - x_min) + x_min
        return x_normalized, x_original
    
    return x_normalized

# 验证
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler

X_raw = np.array([0.2, 0.5, 0.8, 0.4, 0.9, 0.1, 0.6])
x_min, x_max = X_raw.min(), X_raw.max()

# 归一化到 [0, 1]
X_norm = (X_raw - x_min) / (x_max - x_min)

# 手动构造 GASF
phi = np.arccos(X_norm)
GASF = np.array([[np.cos(phi[i] + phi[j]) for j in range(len(phi))] 
                  for i in range(len(phi))])

# 逆变换
X_recovered_norm, X_recovered = gasf_inverse(GASF, x_min, x_max)

print("原始序列:", X_raw)
print("恢复序列:", X_recovered)
print("最大误差:", np.max(np.abs(X_raw - X_recovered)))  # 应约为 0（机器精度）

7.3 MTF 和 RP 实现

from pyts.image import MarkovTransitionField, RecurrencePlot

# MTF
mtf = MarkovTransitionField(n_bins=4)  # 4 个量化区间
mtf_img = mtf.fit_transform(X)

# 递归图
rp = RecurrencePlot(threshold='point', percentage=20)
rp_img = rp.fit_transform(X)

8. 总结与选型建议

8.1 核心结论

GASF/GADF 是目前工程应用最广泛的时序升维方法，数学原理清晰，与 CNN 结合效果出色。
GASF 在 [0,1] 归一化条件下具有双射性，可以从图像主对角线无损还原原始时间序列——这是它有别于其他方法的独特优势。
不同方法捕捉不同维度的信息，实际应用中多种编码融合通常优于单一方法。
时频方法（STFT/CWT） 在语音、振声领域历史更悠久，工具链成熟，也具有可逆性。
TimesNet 的周期重塑 代表了一种不依赖手工设计的”学习式”升维思路，在时序预测任务上表现最优。

8.2 可逆性汇总

完全可逆（信息无损）：
  ✅ GASF（[0,1]归一化 + 无损存储）— 从主对角线恢复
  ✅ STFT（保留复数系数）
  ✅ CWT（保留复数系数）
  ✅ TimesNet Reshape（reshape 天然可逆）

有条件/部分可逆：
  ⚠️ GASF（[-1,1]归一化）— 符号歧义，需辅助 GADF
  ⚠️ STFT/CWT 幅度图 — 丢失相位，Griffin-Lim 近似恢复

不可逆：
  ❌ GADF（单独使用）
  ❌ MTF（量化损失）
  ❌ RP（阈值二值化）
  ❌ SDP（镜像对称损失）

8.3 一句话选型指南

你的需求	推荐方法
复用 ImageNet 预训练 CNN，快速搭建基线	GASF + GADF
需要还原原始曲线（可逆）	GASF（[0,1]）或 TimesNet Reshape
振动/声音信号，频率信息重要	CWT Scalogram 或 STFT 语谱图
非线性动力学、混沌系统分析	RP（递归图）
时间序列预测（长序列）	TimesNet Reshape
多方法融合提升分类性能	GASF + MTF + RP 三合一

参考文献

Wang, Z., & Oates, T. (2015). Imaging time-series to improve classification and imputation. IJCAI 2015. arXiv:1506.00327.
Wu, H., Hu, T., Liu, Y., Zhou, H., Wang, J., & Long, M. (2023). TimesNet: Temporal 2D-variation modeling for general time series analysis. ICLR 2023. arXiv:2210.02186.
Eckmann, J. P., Kamphorst, S. O., & Ruelle, D. (1987). Recurrence plots of dynamical systems. Europhysics Letters, 4(9), 973.
Bagnall, A., Lines, J., Bostrom, A., Large, J., & Keogh, E. (2017). The great time series classification bake off. Data Mining and Knowledge Discovery, 31(3), 606–660.
Transformer fault diagnosis method based on Gramian Angular Field and optimized neural network. Scientific Reports (Nature), 2025. https://doi.org/10.1038/s41598-025-08590-2
A New Method for Diagnosing Motor Bearing Faults Based on Gramian Angular Field Image Coding and Improved CNN-ELM. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2023. DOI: 10.1109/TIE.2023.
Combining 2D encoding and convolutional neural network to enhance land use and land cover mapping from satellite image time series. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2023. https://doi.org/10.1016/j.engappai.2023.106354
A Novel Method for Rolling Bearing Fault Diagnosis Based on Gramian Angular Field and Few-shot Learning. Sensors, 24(12), 2024. DOI: 10.3390/s24123967
Rolling bearing fault diagnosis method based on gramian angular difference field and deep neural network under strong noise interference. PLOS ONE, 2024. DOI: 10.1371/journal.pone.0314898

时间序列数据升维技术研究笔记

格拉姆角场（GASF/GADF）及其同类方法

目录

1. 为什么要”升维”？

1.1 问题背景

1.2 升维的本质

2. 格拉姆角场（GAF）：GASF 与 GADF

2.1 直观理解

2.2 数学原理

第一步：归一化

第二步：极坐标编码

第三步A：构造 GASF（角度求和场）

第三步B：构造 GADF（角度差分场）

2.3 完整计算流程

GASF 矩阵的对称性

图像可视化特征

3. 可逆性分析：能从图像还原时间序列吗？

3.1 GASF 的双射性（Bijection）

3.2 逆变换方法

从主对角线恢复

3.3 可逆性的限制条件

归一化到 [-1,1] 时的符号问题

3.4 GADF 的可逆性

3.5 实际应用中的逆变换价值

4. 其他主流数据升维方法

4.1 马尔可夫转移场（Markov Transition Field, MTF）

核心思想

构造步骤

与 GASF 的对比

可逆性

4.2 递归图（Recurrence Plot, RP）

核心思想

视觉特征含义

可逆性

4.3 短时傅里叶变换（STFT）/ 语谱图（Spectrogram）

核心思想

特点

可逆性

4.4 连续小波变换（CWT）/ 小波时频图（Scalogram）

核心思想

与 STFT 的区别

可逆性

4.5 TimesNet 周期重塑法（2D Reshape）

核心思想

特点

4.6 对称点模式（Symmetric Dot Pattern, SDP）

核心思想

特点

5. 方法横向对比

6. 高水平期刊应用案例

案例一：Nature Scientific Reports — 变压器故障诊断

案例二：IEEE Transactions on Industrial Electronics — 电机轴承故障诊断

案例三：Engineering in Agriculture / Remote Sensing — 卫星遥感作物分类

案例四：Sensors (MDPI，Q1) — 滚动轴承故障 + 小样本

案例五：PLOS ONE — 强噪声下的滚动轴承故障诊断

7. 代码速查：Python 实现

7.1 GASF/GADF 快速实现（使用 pyts 库）

7.2 从 GASF 还原时间序列

7.3 MTF 和 RP 实现

8. 总结与选型建议

8.1 核心结论

8.2 可逆性汇总

8.3 一句话选型指南

参考文献